Древний философ Зенон Элейский -
автор апорий, которые волновали умы и его современников, и наших. Слово
"апория" означает "парадокс", "противоречие". Спрашивается, неужели
парадоксы более чем двухтысячелетней давности еще не решены? Из
физики известно, что вечный двигатель невозможен, это доказано и
проверено. Однако вновь и вновь находятся люди, которые тратят время не
на ознакомление с доказательствами, а на попытки придумать вечный
двигатель. Их каждый раз ждет разочарование, неудача, однако количество
желающих изобрести вечный двигатель не уменьшается. Я хочу сказать,
что ситуация с апориями Зенона выглядит точно так же. Существуют
опровержения этих парадоксов. Однако все равно находятся люди, которые
не пытаются ознакомиться с опровержениями, а предпочитают рассуждать об
их загадочности, вечной неразрешимости и актуальности. Да, узнать о
чем-то загадочном бывает интересно. Для некоторых ощущение загадки
гораздо приятнее, чем знание о разгадке. Такие люди просто не захотят
знать разгадку. Это повествование не для них. Первоисточник
Точные тексты апорий Зенона до нашего времени не дошли. Вместо них
имеется более или менее подробный их пересказ в книге Аристотеля
"Физика". Ниже приводятся все цитаты из этой книги, которые имеют
отношение к апориям. К тому же и с помощью обычных рассуждений
легко уясняется, что величина непрерывна, если время непрерывно,
поскольку в половинное время проходится половинный путь, и вообще в
меньшее время -- меньший, ибо одни и те же деления будут и для времени, и
для величины. И если одно из них бесконечно, то будет [бесконечно] и
другое, и в каком смысле [бесконечно] одно, в таком и другое, например,
если время бесконечно в отношении концов, то и длина будет [бесконечна] в
отношении концов; если [время бесконечно] в отношении делимости, то и
длина в отношении делимости; если время [бесконечно] в обоих [указанных
отношениях], то в обоих [будет бесконечна] и величина. Поэтому
ошибочно рассуждение Зенона, в котором предполагается, что невозможно
пройти бесконечное [множество предметов] или коснуться каждого из них в
конечное время. Ведь длина и время и вообще все непрерывное называются
бесконечными в двояком смысле: или в отношении деления, или в отношении
концов. И вот, бесконечного в количественном отношении нельзя коснуться в
конечное время, а бесконечного в отношении деления -- можно, так как
само время бесконечно именно в таком смысле. Таким образом, бесконечное
удается пройти в бесконечное, а не в конечное время и коснуться
бесконечного [множества можно] бесконечным, а не конечным [множеством].
Разумеется, невозможно ни пройти бесконечное в конечное время, ни
конечное в бесконечное время, но если время будет бесконечным, то и
величина будет бесконечной, и если величина, то и время. [...]
Зенон же рассуждает неправильно. Если всегда -- говорит он -- всякое
[тело] покоится, когда оно находится в равном [себе месте], а
перемещающееся [тело] в момент "теперь" всегда [находится в равном себе
месте], то летящая стрела неподвижна. Но это неверно, потому что время
не слагается из неделимых "теперь", а также никакая другая величина.
Есть четыре рассуждения Зенона о движении, доставляющие большие
затруднения тем, кто пытается их разрешить. Первое -- о несуществовании
движения на том основании, что перемещающееся [тело] должно дойти до
половины прежде, чем до конца. Это [рассуждение] мы разобрали в
предшествующих главах. Второе -- так называемый "Ахиллес": оно состоит в
том, что самое медленное [существо] никогда не сможет быть настигнуто в
беге самым быстрым, ибо преследующему необходимо прежде прийти в место,
откуда уже двинулось убегающее, так что более медленное всегда должно
будет на какое-то [расстояние] опережать [преследующего]. И это
рассуждение основывается на делении пополам, отличается же [от
предыдущего] тем, что взятая величина делится не на две равные части.
То, что более медленное не настигается, вытекает из этого
доказательства, но получается таким же путем, как и в [предшествующем]
делении пополам (в обоих случаях то, что предел не достигается,
получается вследствие определенного деления величины, только в данном
случае прибавлено, что даже легендарное по своей быстроте [существо] не
настигнет самое медленное), следовательно, и опровержение должно быть то
же самое. Утверждение, что опережающее не может быть настигнуто,
ошибочно: пока оно опережает, оно не настигается и все же будет
настигнуто, если [Зенон] допустит [возможность] прохождения
ограниченного [расстояния]. Таковы, следовательно, два [его]
рассуждения. Третье, о котором только что было упомянуто, состоит в
том, что летящая стрела стоит неподвижно; оно вытекает из
предположения, что время слагается из [отдельных] "теперь"; если это не
признавать, силлогизма не получится. Четвертое [рассуждение]
относится к равным предметам, движущимся по ристалищу с противоположных
сторон мимо равных [неподвижных] предметов: одни [движутся] с конца
ристалища, другие от середины, имея равную скорость, откуда, по его
мнению, получается, что половина времени равна ее двойному количеству.
Паралогизм состоит в том [предположении], что одинаковая величина,
двигаясь с равной скоростью один раз мимо движущегося, другой раз мимо
покоящегося [тела], затрачивает на это равное время, но это неверно.
Допустим, например, что стоят неподвижные предметы АА..., другие --
ВВ..., равные им по числу и величине, начинают движение от середины
[ристалища], а предметы ГГ..., также равные прежним по числу и величине,
[начинают движение] от конца, двигаясь с той же скоростью, что и В.
Получится, что первое В и первое Г, двигаясь мимо друг друга,
одновременно окажутся на [противоположных] концах [А]. Получится также,
что Г пройдет мимо всех В, а В только мимо половины [А], следовательно, и
время будет половинным, так как каждый предмет мимо каждого предмета
проходит в одинаковое время. Вместе с тем выходит, что первое В прошло
мимо всех Г, так как первое Г и первое В одновременно окажутся на
противоположных концах [А], причем времени, как он, [Зенон], утверждает,
для прохождения каждого В требуется столько же, сколько и на каждое А,
так как те и другие в равное время проходят лишь А. Рассуждение,
следовательно, таково, но результат получается вследствие упомянутой
ошибки. [...] Таким же способом следует возразить тем, которые
выдвигают рассуждение Зенона и полагают, что если всегда сначала надо
пройти половину, а число половин бесконечно, то бесконечного пройти
нельзя; или тем, которые формулируют это же рассуждение иначе,
утверждая, что вместе с движением надо отсчитывать половину каждой
возникающей половины, так что, пройдя все расстояние, приходится
сосчитать бесконечное число, а это, по общему признанию, невозможно.
Историки пытаются реконструировать исходные рассуждения Зенона на
основе пересказа Аристотеля. Понятно, что исходный текст по пересказу в
точности восстановить невозможо. Я привел отрывки в русском переводе для
того, чтобы вы могли отбросить реконструкции, являющиеся плодом
воображения толкователей. Таких фантастических интерпретаций, имеющих
мало общего с первоисточником, можно встретить достаточно. Дихотомия Первый вариант апории "Дихотомия":
Пусть тело должно пройти путь конечной длины. Пусть оно уже прошло
половину пути, отсчитаем эту половину. Далее надо отсчитать половину
оставшегося пути, потом половину той половину и так далее. В результате
надо отсчитать бесконечное число чисел. Представляется невозможным
сосчитать бесконечное число величин за конечное время. На данной
схеме нарисовано тело - шар, который должен прокатиться по отрезку
конечной длины и отмечены точки деления отрезка пополам:
Конечно, никто не стоит рядом с шаром и не отсчитывает расстояния
синхронно с его движением. Имеется в виду, что невозможно просуммировать
бесконечное число отрезков за конечное время. Допустим, общая длина
пути равна 1 метру. Значит, отрезки будут длиной в 1/2 м, 1/4 м, 1/8 м,
1/16 м и т.д. Чтобы вычислить путь, надо просуммировать длины
бесконечного числа отрезков: 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +...
Конечно, во времена Зенона не умели вычислять суммы бесконечных рядов.
Но это не значит, что суммы таких рядов не научились вычислять до сих
пор. Подобная последовательность чисел называется геометрической
прогрессией. Ее сумму умел вычислять, например, Ньютон. В школе тоже
проходят эту формулу: Сумма = a / (1 - q) Где a - первый
элемент последовательности (в рассмотренном случае 1/2 = 0,5). q - во
сколько раз следующий элемент последовательности больше предыдущего (в
рассмотренном случае тоже 0,5). Таким образом, сумма равна 0,5 / (1 -
0,5) = 0,5 / 0,5 = 1. Как видите, все сходится. В школе приведенная
формула может даваться без доказательств. Строгое ее обоснование дается
в самом начале курса математического анализа в любом техническом ВУЗе
(или в школе с математическим уклоном) в разделах "теория пределов" или
"бесконечные последовательности". Каким же образом современные
математики доказывают подобную формулу? Неужели они успевают
просуммировать бесконечное число слагаемых за свою конечную жизнь? Нет,
конечно. Совсем необязательно решать задачу "в лоб". Я, разумеется,
не буду цитировать здесь большой фрагмент учебника математики. Вместо
этого я попытаюсь дать общее представление о доказательстве несколько
упрощенно, показав общий принцип. Берется предполагаемый результат
суммы (в данном случае 1). Понятно, что при суммировании мы всякий раз
будем получать суммы меньше единицы: 1 - 1/2, 1 - 1/4, 1 - 1/8,.... То
есть, сумма не может находиться на числовой оси правее единицы.
Затем доказывается, что ни одно число слева от единицы тоже не подходит
на роль суммы. Например, если взять число, равное 1 - 1/1000, то это
число будет пройдено после 10-го деления отрезка пополам, когда сумма
будет равна 1 - 1/1024. Так же можно рассуждать для любого другого
числа, сколь угодно близкого к единице, но меньше нее. Итак, справа
от единицы нет ни одного подходящего числа, все они больше, чем нужно.
Слева - тоже нет ни одного числа, все они меньше, чем нужно. Методом
исключения выясняется, что искомый результат может быть равен только
единице. Чем больше величин мы просуммируем, тем ближе будет
результат к единице. Оставшееся расстояние никогда не станет нулевым, но
можно сделать его сколь угодно маленьким и указать, сколько слагаемых
надо просуммировать, чтобы пройти любую заданную точку, близкую к
единице. Подобное действие в математике называется "пределом". В
данном случае предел - число 1. Физика Ньютона использует понятие
предела для решения многих задач. Например, через пределы определяются
понятия скорости и ускорения. Как видите, в конечном счете законы
движения в физике определяются через подобные пределы. Итак, в
первом варианте апории ошибка заключается в том, что заранее
утверждается невозможность найти сумму. Сумму действительно нельзя найти
таким способом, как указано в апории. Однако можно ее найти другим
способом. Второй вариант апории "Дихотомия": Для того, чтобы
пройти путь конечной длины, надо сначала пройти половину. Для того,
чтобы пройти оставшуюся половину, надо сначала пройти половину половины.
И так далее. В результате надо пройти бесконечное число половин.
Представляется невозможным пройти бесконечное число отрезков за конечное
время. Утверждается, что невозможно пройти бесконечное число
отрезков за конечное время. В этом последнем утверждении и кроется
ошибка в рассуждении и решение парадокса. Это утверждение о
невозможности дается без доказательства, принимается как очевидное.
Однако, то, что очевидно, не всегда истинно. Так и в этот раз -
утверждение оказалось ложным. Расмотрим вопрос подробнее. Все
отрезки имеют разную длину, каждый последующий вдвое меньше предыдущего.
Время, необходимое для преодоления отрезков, тоже будет уменьшаться.
Если наш шар катится равномерно со скоростью 1 м/c, то первый отрезок
будет пройден за полсекунды, второй - за четверть секунды, третий - за
осьмушку и так далее. Если попытаться просуммировать отрезки времени, то
получится та самая формула, которую мы уже видели: 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +...
А эта формула, как мы знаем, дает вовсе не бесконечность, а 1. Так что
время, необходимое для преодоления бесконечного числа отрезков, конечно
(в данном случае 1 секунда). Почему так получается? Да потому, что
количество отрезков бесконечно велико, но время на преодоление каждого
отрезка бесконечно мало. Говоря "поэтически", когда бесконечно большое
сталкивается с бесконечно малым, то результат может быть и конечным, и
бесконечным. В данном случае он конечен. А вот такая сумма будет уже
бесконечной: 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 +... А если избегать
поэзии, то можно заметить: бесконечность - не является каким-то
предметом. Бесконечности бывают самые разные. Мы уже рассмотрели
несколько разновидностей. В конкретных случаях надо рассматривать
конкретные формулы для той или иной бесконечности и доказывать свои
суждения вместо того, чтобы заявлять: "это невозможно". Итак, во
втором варианте апории ошибка заключается в том, утверждается
невозможность пройти бесконечное число отрезков за конечное время. На
самом деле это иногда возможно при условии, что сами отрезки бесконечно
малы. Третий вариант апории "Дихотомия": Для того, чтобы тело
прошло путь конечной длины, оно должно сначала коснуться места посредине
пути. Для того, чтобы пройти оставийся путь, тело должно сначала
коснуться места посредине оставшегося пути. И так далее. В результате
тело должно коснуться бесконечного числа мест. Представляется
невозможным коснуться бесконечного число числа мест за конечное время.
Этот вариант похож на предыдущий, только взамен преодоления отрезков
предлагается "касаться мест". Ошибка также кроется в последнем
утверждении. Оно бездоказательно. Хотя кому-то оно может показаться
очевидным, но на деле оказывается ложным. Чтобы коснуться точки на
полпути шару нужно полсекунды. До следующей точки он доберется еще за
четверть секунды. До следующей - за осьмушку и так далее. Да, число
точек бесконечно велико, но время, нужное для касания каждой точки,
бесконечно мало. Когда бесконечно малое сталкивается с бесконечно
большим, результат не обязательно получится бесконечным. В данном случае
он конечен. Ахиллес и черепаха Быстроногий Ахиллес никогда не
сможет догнать черепаху, поскольку Ахиллесу необходимо сначала добежать
до места, откуда начала движение черепаха, а она за это время немного
уползет вперед до нового места. Ахиллес будет должен добежать до этого
нового места, но черепаха за это время хоть немного, но уползет вперед. В
результате окажется, что черепаха всегда будет на какое-то расстояние
опережать Ахиллеса.
Ошибка тут точно такая же, как и в апории
"Дихотомия". Утверждается (бездоказательно), что "черепаха всегда будет
опережать", но что значит "всегда"? Бесконечное время? Однако, Ахиллес
бежит быстрее. На рисунке видно, что каждый раз ему требуется преодолеть
меньшее расстояние, чем на предыдущем шаге. То есть, время "догоняния" -
бесконечно малая величина. А когда бесконечно большое (число
"догоняний") сталкивается с бесконечно малым (временем "догоняния") то
результат (общее время погони) не обязан быть бесконечным. Он и не
бесконечен. Допустим, что Ахиллес бежит в 10 раз быстрее (со
скоростью 10 м/c) и расстояние до черепахи равно сначала 1000 метрам.
Эти 1000 метров он пробежит за 100 секунд. Шустрая черепаха тем временем
преодолеет 100 метров. Эти 100 метров Ахиллес пробежит за 10 секунд.
Черепаха уйдет вперед на 10 метров. Эти 10 метров Ахиллес пробежит за 1
секунду. Получаем сумму: 100 + 10 + 1 + 1/10 + 1/100 +... Снова имеем геометрическую прогрессию. Применим уже знакомую формулу: a / (1 - q) = 100 / (1 - 1/10) = 100 / (9/10) = 1000/9 Как видите, время вовсе не бесконечно, если его подсчитать, а не голословно утверждать, дескать, "никогда". Стадион
Апория "Стадион" (в приведенном выше фрагменте перевода не стадион, а
ристалище) также рассматривает ситуацию, когда время нельзя делить до
бесконечности, а только до минимального фрагмента (кадра). Пусть
есть три группы предметов, одинаковых по количеству (N штук). Один ряд
"A" стоит на месте. Второй ряд "B" марширует мимо него слева направо, а
третий ряд "C" марширует мимо первого ряда справа налево. Пусть ряд "B"
минует за один кадр одного из ряда "A", так что ему требуется N кадров.
Также ряду "C" надо N кадров, чтобы пройти мимо ряда "B". Но второй и
третий ряды маршируют навстречу друг другу, так что должны миновать друг
друга за время, вдвое меньшее - N/2 кадров.
В качестве
движущихся предметов возьмем следующих друг за другом лошадей. На
рисунке вы видите 6 последовательных кадров. Верхний ряд лошадей "A"
стоит на месте. Следующий ряд "B" идет справа налево. И самый нижний ряд
"C" движется слева направо. Обратите внимание на первую лошадь во ряду
"B". На кадрах 2, 3, 4 и 5 она побывала перед каждой из лошадей ряда A.
Однако она успела побывать только перед двумя лошадьми из ряда "C" (на
кадрах 4 и 5). Ошибку в этом парадоксе нашел сам Аристотель в своем
пересказе. Как он правильно заметил, утверждается, что "величина,
двигаясь с равной скоростью один раз мимо движущегося, другой раз мимо
покоящегося [тела], затрачивает на это равное время, но это неверно".
Лошадь из ряда "B" за один кадр минует не одну, а сразу две лошади из
ряда "C". Таким образом, причина этого парадокса - ложное
утверждение "Также ряду "C" надо N кадров, чтобы пройти мимо ряда "B".
Можно догадаться, откуда оно взялось. Если рассматривать непрерывное
движение, то каждая лошадь ряда B обязательно побывает перед каждой
лошадью ряда C. Этот факт распространяется и на дискретное движение. В
результате имеем скрытое смешивание двух разных моделей и противоречие.
Правильное рассуждение соответствует рисунку.
В заключение
отмечу тот факт, что логические ошибки, лежащие в основе парадоксов,
могли быть обнаружены еще во времена Зенона. Например, тогда не умели
считать сумму бесконечной геометрической прогрессии, но можно было
заметить, что утверждение "чтобы преодолеть бесконечное число отрезков,
требуется бесконечное время" - принимается без доказательства. Судя
по приведенным фрагментам, Аристотель пытался разобраться с этим
вопросом. Можно услышать такие мнения, что Зенон пытался опровергнуть
апориями (так сказать, "от противного") какие-то заблуждения
современников. Это, конечно, - досужие домыслы, поскольку все, что у нас
есть - пересказ Аристотеля. В любом случае в рассуждениях апорий
имеются логические ошибки, которые не позволяют применять их даже для
доказательства "от противного".
